Решение систем уравнений с двумя неизвестными

Калькулятор для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.
Калькулятор отображает ход решения.
Решает системы линейных уравнений с целыми, десятичными и дробными коэффициентами.
Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными онлайн

Для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными 2x2 с помощью онлайн калькулятора, введите коэффициенты системы и нажмите кнопку 'Решить'.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет следующий вид:

a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2

где x1 и x2 - неизвестные; a11, a12, a21, a22 - коэффициенты системы; b1 и b2 - свободные члены.

Так как в данной системе число уравнений равно числу неизвестных, то система называется квадратной.

Решение систем линейных уравнений (Правило Крамера)

Нахождние корней системы линейных уравнений по формулам Крамера удобно для систем из двух и трех уравнений, так как вычисление определителей четвертого и более высоких порядков является достаточно громоздкой процедурой. Правило Крамера подходит для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель основной матрицы не равен нулю.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn:
система линейных уравнений

Матрица, составленная из коэффициентов этой системы, является квадратной, так как у нее n строк и n столбцов. Обозначим определитель этой матрицы:

Определитель системы линейных уравнений

Через определитель обозначим определитель матрицы системы, в которой j столбец заменен на столбец правых частей уравнений

определитель матрицы системы, в которой j столбец заменен на столбец правых частей уравнений

Тогда, если определитель определитель не равен нулю, то эта система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формуле Крамера (правило Крамера):

формула Крамера

Рассмотрим применение формул Крамера на примере.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
система двух линейных уравнений с 2-мя неизвестными

По формулам Крамера получаем

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера

Решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. С помощью простых преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно находятся все неизвестные, начиная с xn и заканчивая x1.

Пример решения системы двух линейных уравнений методом Гаусса

система двух линейных уравнений с 2-мя неизвестными

Разделим первое уравнение системы на 3
система двух линейных уравнений с 2-мя неизвестными

Умножим уравнение (*) на 4 и вычтем из второго уравнения. Получим следующую систему уравнений

решение системы двух линейных уравнений с 2-мя неизвестными методом Гаусса

Из последнего уравнения находим y=2. Подставляя найденное значение в первое уравнение, находим x.

решение системы уравнений
Ответ: x=4, y=2.

Copyright © 2017 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены