Решение систем линейных уравнений

Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными - онлайн калькулятор

Универсальный калькулятор позволяет быстро и легко решать системы n линейных уравнений с n неизвестными. Для решения СЛАУ необходимо задать количество уравнений и ввести соответствующие коэффициенты.

Возможности универсального калькулятор: решение систем уравнений с двумя неизвестными, тремя неизвестными, 4 неизвестными, 5 неизвестными, 6 неизвестными, 7 неизвестными, 8 неизвестными, 9 неизвестными, 10 неизвестными и 11 неизвестными.


Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью определителей удобно производить для систем 2-х или 3-х уравнений. Если же число уравнений больше, то гораздо выгоднее использовать метод Гаусса. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных.

Пусть необходимо решить систему:
решение системы линейных уравнений

где xi - неизвестные, i = 1, 2, ..., n; n < 200. Если число уравнений больше, то нужно применять итерационные методы решения.
ai,j - элементы расширенной матрицы коэффициентов.

В соответствии с алгоритмом Гаусса выразим x1 из первого уравнения
x1 = (a1,n+1 - a1,2x2 - ... - a1nxn)/a11     (2)

Если a1,1=0, то необходимо переставить уравнения системы. Затем подставим (2) во все уравнения системы (1), кроме первого. Таким образом, неизвестное x1 будет исключено из всех уравнений системы, кроме первого.
При этом элементы расширенной матрицы преобразуются по формулам:

a1j(1) = a1j/a11

aij(1) = aij - ai1a1j(1), i = 2,3,...,n; j = 1, 2, ..., n+1

В результате исключения x1 из всех уравнений все элементы первого столбца преобразованной матрицы будут равны нулю, кроме a11(1) = 1.

Аналогично, x2 выражаем из 2-го уравнения и исключаем оставшихся уравнений системы и т.д.

В результате получаем преобразованную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Выпишем соответствующие формулы для исключения неизвестного xk и получения коэффициентов преобразованной матрицы.

Řрешение системы линейных уравнений методом Гаусса

Теперь мы можем определить все неизвестные xk последовательно, начиная с xn и заканчивая x1. Эта процедура называется обратным ходом метода Гаусса.

Для того, чтобы уменьшить погрешность при делении на диагональный элемент в формуле (3), рекомендуется осуществлять такую перестановку уравнений, чтобы поставить на диагональ наибольший по модулю из всех элементов рассматриваемого столбца. Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса с выбором главного элемента.

Оценить погрешность численного решения системы можно с помощью вычисления невязок. Для этого численные решения xk, k = 1, 2, ..., n, нужно подставить в систему и вычислить разность между правыми и левыми частями уравнений.

решение системы линейных уравнений методом Гаусса
При малой погрешности решений величины невязок rk будут равны нулю.

Copyright © 2014 Intemodino Group s.r.o. Все права защищены