Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav n rovnic s n neznámými.
Řešení soustav lineárních rovnic 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9, 10x10 a 11x11.
Download on the App Store
Download on the Mac App Store
Android app on Google Play
Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic online

Univerzální kalkulačka umožnuje rychle a snadno řešit soustavu n rovnic s n neznámými.

Možnosti univerzální kalkulačky: řešení soustavy lineárních rovnic se dvěma neznámými, řešení soustavy algebraických rovnic se třemi neznámými, čtyř lineárních rovnic se čtyřmi neznámými, pět lineárních rovnic s pěti neznámými, atd. Největší počet rovnic v soustavě je 11.

Pro řešení soustavy rovnic, je nutné zadat počet rovnic a odpovídající koeficienty.

Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Gaussovy eliminační metody


Řešení soustav rovnic pomocí determinantů je vhodné provádět u soustav s 2 a 3 rovnicemi. Pro větší počet rovnic je mnohem výhodnější použít Gaussovou eliminaci. Gaussova eliminace je založena na postupném odčítání neznámých. Gaussovou eliminační metodou lze rychle řešit soustavu n rovnic o n neznámých.

Gaussova eliminační metoda pro řešení soustav algebraických rovnic:

Krok 1. Dopředné redukci : úpravíme matice soustavy na schodový tvar.

Krok 2. Zpětné substituci: nalezení řešení soustavy pomocí zpětné substituce.

Najděme řešení následující soustavy rovnic pomocí Gaussovy eliminace:

řešení soustavy rovnic

kde xi jsou neznámé, i = 1, 2,..., n; n < 200. Pokud je počet rovnic větší, je nutné použít iterační metody řešení.
ai,j - prvky rozšířené matice koeficientů.

V souladu s Gaussovou eliminační metodou najdeme x 1 z první rovnice
x1 = (a1,n+1 - a1,2x2 - ... - a1nxn)/a11     (2)
Pokud a1,1 = 0, je nutné změnit uspořádání rovnic soustavy.

Pak nahradíme (2) do všech rovnic soustavy (1), s výjimkou první rovnice. Tak bude neznámý x 1 odstraněn ze všech rovnic soustavy, s výjimkou první rovnice.

Prvky rozšířené matice budou transformované podle vzorce:
a1j(1) = a1j/a11

aij(1) = aij - ai1a1j(1), i = 2,3,...,n; j = 1, 2,..., n+1.

V důsledku výjimky x 1 ze všech rovnic, vše prvky prvního sloupce transformované matice budou nulové, s výjimkou a11(1) = 1.

Podobně vyjádřím x2 z 2. rovnice a odstraním ze zbývajících rovnic soustavy, atd.

Získáme transformovanou matici, ve které všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou nulové.

Zapíšeme vzorec pro vyloučení neznámého xk a získání koeficientů transformované matice.
Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Gaussovy eliminační metody

Nyní můžeme určit všechny neznámé xk postupně od xn do x1. Tento postup se nazývá zpětný chod.
Za účelem snížení chyby při dělení na diagonální prvek ve vzorce (3), se doporučuje změnit uspořádání rovnic soustavy tak, abychom měli na úhlopříčce největší v absolutní hodnotě ze všech prvků příslušného sloupce. Tato modifikace Gaussovy eliminační metody, která slouží ke zmenšení zaokrouhlovacích chyb, se nazývá eliminace s výběrem hlavního prvku.

Odhadnout chybu numerického řešení soustavy je možné pomocí výpočtu diskrepance. K tomu je nutné nahradit numerické řešení xk, k = 1, 2,..., n do soustavy a vypočítat rozdíl mezi pravou a levou stranami rovnic.
Řešení soustav rovnic
Při malé chybě řešení, velikost rk bude nulová.

Copyright © 2017 Intemodino Group s.r.o.
Všechna práva vyhrazena